So hab gestern nochmal den Check gemacht...
Also tatsächlich ist die mittlere Fenderschraube der Übeltäter.

Wir haben das Moped hochgebockt und etwas genauer geguckt. Das Rad "eiert" nur minimal, wahrscheinlich war das schon immer so und ich hatte es nur jetzt als Ursache vermutet.
Es gab jedoch einen erkennbaren Unterschied in den Einstellungen rechts und links am Radspanner... wir haben jetzt die Räder auf beidseitig gleiche Markierung eingestellt, noch etwas mehr Druck auf den Reifen gebracht und damit hat sich im Single-Betrieb das Problem erstmal erledigt... Sozius-Betrieb ist noch auszutesten. Ich werde trotzdem noch die Speichen nachgucken lassen und die Fenderschraube demnächst mal auswechseln.

@Jürgen: Danke für den Tip. Reifen sind von Bridgestone. Genauen Typ muss ich nochmal nachliefern (bin gerade nicht zu Hause)